Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Ada tiga cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat yaitu :
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan kuadrat sempurna 
3. Menggunakan rumus abc

Cara Memfaktorkan  

Cara ini didasari oleh sifat perkalian dua bilangan real. Jika a dan b adalah bilangan  real sehingga a.b=0, maka a = 0 atau b = a. Demikian pula sebaliknya, jika a atau b adalah nol maka a.b = 0.

Penyelesaian persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 ;  a ≠ 0, dengan cara memfaktorkan, dibagi menjadi dua :

     1.  Jika a = 1

     2. Jika a  ≠ 1

 

Jika a = 1, maka langkah-langkahnya adalah carilah dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan c dan jumlahnya sama dengan b. Kita faktorkan bentuk x² + bx + c = 0 menjadi (x+x₁)(x+x₂) = 0

x + x₁ = 0 atau x+x₂ = 0. 

Contoh 1  

Tentukan penyelesaian dari persamaan  x² + 9x – 10 = 0.

Penyelesaian: 

Disini a = 1, b = 9 dan c = – 10.

Dua bilangan yang hasil kalinya – 10 dan

jumlahya 9 adalah – 1 dan 10.

Jadi,

x² + 9x – 10 = 0

(x – 1)( x + 10) = 0

 x – 1 = 0 atau x + 10 = 0

 x = 1 atau x = – 10

Jika a ≠ 1, maka langkah-langkahnya adalah carilah dua bilangan yang hasil kalinya sama dengan ac dan jumlahnya sama dengan b. Kita faktorkan bentuk ax² + bx + c = 0 menjadi

 

Contoh 2  

Tentukan penyelesaian dari persamaan 3x² + 2x – 5 = 0,

Penyelesaian: 

Disini a = 3, b = 2 dan c = – 5. Dua bilangan yang hasil kalinya 3(– 5)= – 15 dan jumlahnya 2 adalah – 3 dan 5, sehingga,

3x² + 2x – 5 = 0

Cara 2 :

3x² + 2x – 5 = 0

3x² – 3x + 5x – 5 = 0,         2x dinyatakan sebagai – 3x + 5x

3x( x – 1) + 5( x – 1) =0 ,   sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

(3x + 5)( x – 1) = 0,           sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

3x + 5 = 0 atau x – 1  = 0

3x = – 5 atau x = 1

 

Cara 3 :

Berikut ini adalah langkah-langkah yang dapat dilakukan untuk merubah suatu bentuk kuadrat ke dalam perkalian dua suku yang masing-masing linier. Perhatikan bentuk umum persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0 ;  a ≠ 0.

Langkah-langkah:

     a)    Persamaan kuadrat dinyatakan dalam bentuk  ax² + bx + c = 0 ; a ≠ 0.

    b)   Kedua ruas dibagi dengan a sehingga koefisien dari x² adalah 1, akhirnya persamaan  kuadrat semula berbentuk

    c)    Tentukan dua buah faktor dari c yang kalau dijumlahkan sama dengan b, misalkan dua  faktor itu adalah q dan s, maka 

sehingga  x + q = 0 atau x + s = 0.

Jadi penyelesaiannya adalah x = –q atau x = –s.  

Untuk contoh 2 dapat dikerjakan sebagai berikut:

3x² + 2x – 5 = 0

 

 

 

Cara 4 :

Kita dapat langsung memfaktorkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 tanpa terlebih dahulu membagi kedua ruas dengan a. Cara memfaktorkan adalah seperti berikut.

      Menyatakan ax² + bx + c sebagai hasil kali dua bentuk linier, yaitu

 

bersambung....