KAIDAH PENCACAHAN

 Setiap orang pasti pernah dihadapkan dalam permasalahan memilih atau mengambil keputusan. Misalnya, setelah tamat sekolah akan memilih program studi dan di perguruan tinggi yang mana? Ketika berangkat ke sekolah memilih jalur yang mana. Dalam matematika kita dibantu untuk menentukan banyak pilihan yang akan diambil. Untuk lebih memahami cermati masalah dan kegiatan berikut. Masalah 8-1 Kota A dan B dihubungkan oleh 4 jalur sedangkan B dan C dihubungkan oleh 5 jalur . Feni akan berangkat dari kota A menuju kota C melewati B. Buatlah bagan jalur kota A, B, C. Tentukan ada berapa macam jalur yang mungkin ditempuh oleh Feni ?

 Penyelesaian

Jalur yang mungkin :

(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5)

(b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (b, 5)

(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5)

(d, 1), (d, 2), (d, 3), (d, 4), (d, 5)

Total jalur yang bisa dilewati ada 20 jalur yang mungkin.

Berdasarkan ketentuan diatas juga bisa langsung dicari tanpa penggambaran bagan yaitu:

n ( A ke B) = 4;   n( B ke C ) = 5;  n ( A ke C) = 4 x 5 = 20 jalur.

Contoh 8-1

Pada pemilihan pengurus OSIS terpilih tiga kandidat yakni Abdul, Beny, dan Cindi yang akan dipilih menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Aturan pemilihan adalah setiap orang hanya boleh dipilih untuk satu jabatan. Berapakah kemungkinan cara untuk memilih dari tiga orang menjadi pengurus OSIS?

Penyelesaian

Ada beberapa metode untuk menghitung banyak cara dalam pemilihan tersebut.

i.   Cara Mendaftar

Mari kita coba untuk memilih tiap-tiap jabatan, yaitu:

a.     Jabatan ketua OSIS Untuk jabatan ketua dapat dipilih dari ketiga kandidat yang ditunjuk yakni Abdul (A), Beny (B), dan Cindi (C) sehingga untuk posisi ketua dapat dipilih dengan 3 cara.

b.     Jabatan sekretaris OSIS Karena posisi ketua sudah terisi oleh satu kandidat maka posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari 2 kandidat yang tersisa.

c.   Jabatan bendahara OSIS Karena posisi ketua dan sekretaris sudah terisi maka posisi bendahara hanya ada satu kandidat.

Dari uraian di atas banyak cara yang dapat dilakukan untuk memilih  tiga kandidat untuk menjadi pengurus OSIS  adalah 3 × 2 × 1 = 6 cara.

ii.  Cara Diagram

Untuk dapat lebih memahami uraian di atas perhatikan diagram berikut.

 



















Masalah 8-2

Seorang manajer supermarket ingin menyusun barang berdasarkan  nomor seri barang. Dia ingin menyusun nomor seri yang dimulai dari nomor 3000 sampai    dengan 8000 dan tidak  angka yang sama. Tentukan banyak nomor seri yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Penyelesaian

Mari kita uraikan permasalahan di atas.  Setiap bilangan yang berada diantara 3000 dan 8000 pastilah memiliki banyak angka yang sama yakni 4 angka jika ditampilkan dalam bentuk kolom menjadi :

Perhatikan untuk  mengisi ribuan hanya dapat diisi angka 3, 4, 5, 6, 7. Artinya terdapat 5 cara mengisi ribuan.

Untuk mengisi ratusan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 7 yang mungkin (mengapa?).

Untuk mengisi puluhan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 6 angka  yang mungkin (mengapa?).

Untuk mengisi satuan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 5 angka yang mungkin (mengapa?). Dengan demikian, banyak angka yang dapat mengisi keempat posisi tersebut adalah sebagai berikut :

Banyak susunan nomor seri barang  yang diperoleh adalah: 5 × 7 × 6 × 5 = 1.050 cara.

Berkaitan dengan Masalah 8.2 

Hitunglah banyak cara menyusun nomor seri barang, jika angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8 diperbolehkan berulang.

Seandainya manager super market tersebut ingin menyusun nomor seri barang adalah bilangan bilangan ganjil yang terdiri dari 5 angka. Berapa cara menyusun nomor seri tersebut.

Alternatif Penyelesaian 1.

Karena nomor seri barang terdiri dari 4 angka, dan boleh berulang maka susunan nomor seri barang hitung dengan aturan:

Jika nomor seri barang tersebut merupakan bilangan ganjil maka susunan nomor seri barang tersebut dihitung dengan aturan:

  

Dari pembahasan masalah dan contoh di atas, dapat kita simpulkan dalam aturan perkalian berikut ini.

Aturan Perkalian : 

Jika terdapat k unsur yang tersedia, dengan :

n₁ = banyak cara untuk menyusun  unsur pertama

n₂ = banyak cara untuk menyusun  unsur kedua setelah  unsur pertama tersusun

n₃ = banyak cara untuk menyusun  unsur ketiga setelah  unsur kedua tersusun

.....

n_k = banyak cara untuk menyusun  unsur ke- k setelah objek-unsur sebelumnya tersusun.

Maka banyak cara untuk menyusun k unsur yang tersedia adalah: n₁ × n₂ × n₃ × ... × n_k. 

LATIHAN   

1. Diberikan angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Rangkailah bilangan yang terdiri dari 5 angka yang berbeda dengan syarat: 

a. Bilangan ganjil 

b. Bilangan genap  

2. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka hitunglah banyak cara perjalanan orang tersebut.

   

 SELAMAT BELAJAR.