MATEMATIKARIA: DILATASI

Memahami dan Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian)

Menemukan Sifat-Sifat Dilatasi

Kamu pernah mengamati sebuah balon yang dihembus atau diisi dengan udara, bukan? Makin banyak udara yang dipompa ke balon, balon makin membesar. Pembesaran tersebut merupakan dilatasi sebuah benda. Perhatikan dilatasi beberapa objek pada gambar berikut.

Gambar 1 Dilatasi titik, bidang dan kurva pada koordinat kartesius.

Berdasarkan gambar di atas, bentuk suatu objek bila dilatasi tidak akan berubah, bukan? Tetapi bagaimana dengan ukurannya? Ukuran objek yang didilatasi akan berubah. Perhatikan sifat-sifat dilatasi berikut. Perhatikan sifat-sifat dilatasi berikut.

Sifat 1
Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k >1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
Lihat gambar berikut ini.

Gambar 2. Dilatasi dengan pusat titik O(0,0) dan k = 3

Sifat 2

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.

Gambar 3. Dilatasi dengan pusat titik O(0,0) dan k =1

Perhatikan bahwa persegi A'B'C'D' berimpit dengan persegi ABCD.

Sifat 3

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk. Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

Gambar 4. Dilatasi dengan pusat titik O(0,0) dan k = 1/2

Perhatikan bahwa persegi A'B'C'D' diperkecil dari persegi ABCD dan terletak searah terhadap pusat dilatasi yaitu titik O(0,0).

Sifat 4

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika –1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

Gambar 5. Dilatasi dengan pusat titik O(0,0) dan k = -1/2

Perhatikan bahwa persegi ABCD diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

Sifat 5

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk. Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

Gambar 6. Dilatasi dengan pusat titik O(0,0) dan k = -2

Perhatikan bahwa persegi ABCD diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.

Menemukan Konsep Dilatasi

Masalah-10.1

Pernahkah kamu melihat gelombang di permukaan air yang tenang. Coba kamu isi air pada ember dengan permukaan berbentuk lingkaran kemudian biarkan sejenak agar permukaan air tidak beriak atau tenang. Kemudian, coba kamu jatuhkan setetes air ke permukaan air yang tenang tersebut. Pengamatan apa yang kamu peroleh? Tentu kamu melihat ada gelombang di permukaan air. Misalkan gelombang air tersebut kita ilustrasikan sebagai berikut.

Gambar 7. Bentuk gelombang pada permukaan air.

Gambar 6a terjadi jika kamu jatuhkan setetes air di tengah permukaan air tersebut. Coba kamu lakukan sebuah percobaan tersebut di sekolah atau di rumah. Gambar 6b terjadi jika kamu menjatuhkan air di permukaan di luar titik pusatnya. Jika demikian, dapatkah kamu berikan komentar, di manakah dijatuhkan setetes air pada permukaan air agar terbentuk pola gelombang air pada gambar 6c?

Mari kita lakukan kembali pengamatan pada gambar 6.a, 6.b, 6.c di atas. Berdasarkan gambar tersebut, gelombang diperbesar atau diperkecil bergantung kepada sebuah faktor pengali. Perhatikan kembali sifatsifat dilatasi. Perhatikan kembali gambar tersebut, bentuk dilatasi gelombang tersebut juga bergantung pada pusat dilatasi. Dengan demikian, kita akan mempelajari kasus ini kembali untuk membangun konsep dilatasi.

Contoh 10.1

Sketsalah dilatasi titik berikut:

Titik A(1, 3) dengan skala 2 dan pusat O(0, 0)

Titik B(3, 2) dengan skala 3 dan pusat O(0, 0)

Penyelesaian

Gambar 8. Dilatasi titik dengan pusat O(0,0)

Langkah 1 : Letakkanlah titik A dan titik B pada bidang koordinat Kartesius

Langkah 2 : Tariklah sebuah garis lurus yang menghubungkan titik A atau titik B ke titik pusat dilatasi.
Langkah 3 : Tentukanlah titik A' yang jaraknya 2 kali dari titik A dan titik B' yang jaraknya 3 kali dari titik B dengan pusat dilatasi.
Langkah 4 : Titik A’ tersebut adalah dilatasi titik A dengan faktor skala 2 dan pusat dilatasi titik O, dan titik B’ adalah dilatasi titik B dengan skala 3 dan pusat dilatasi titik O.

Dengan demikian bayangan titik A oleh dilatasi dengan faktor skala 2 dengan pusat O(0, 0) adalah A'(2, 6) dan bayangan titik B oleh dilatasi dengan faktor skala 3 dengan pusat O(0, 0) adalah B’(9,6).

Contoh 10.2

Sketsalah dilatasi titik A(2, 5) dengan pusat P(-1, 2) dan skala 2.
Perhatikan sketsa dilatasi titik di atas.

Penyelesaian

Gambar 9 Dilatasi titik A(2,5) dengan pusat P(-1, 2)

Agar proses dilatasi titik dengan pusat P(p, q) dan skala k dapat dengan mudah diproses maka perlu dialihkan ke dilatasi dengan pusat O(0, 0), yaitu dengan melakukan translasi T(-p, -q), hasil dilatasi akan ditranslasikan kembali dengan translasi P(p, q). Dengan demikian, proses dilatasi adalah:

Contoh 10.3

Sebuah segitiga ABC, dengan A(1, 2), B(2, 1) dan C(4, 1) didilatasi dengan faktor skala k = 2, k = -1, dan k = -3 serta pusat O(0, 0) sehingga diperoleh berturut-turut segitiga A'B'C', A"B"C", dan A"'B"'C"'.

Penyelesaian

Gambar 10 Dilatasi bidang pada pusat O(0,0) dan faktor berbeda.

Untuk membuat ini dengan Geogebra, langkah-langkahnya sebagai berikut :

1. Buka Geogebra Anda

2. Buat titik O(0,0), dengan cara ketik O=(0,0) pada input bar.

3. Buat titik-titik A, B dan C seperti membuat titik O pada langkah 2.

4. Buat segitiga ABC dengan tool polygon, klik A, lalu B, lalu C kembali A.

5. Klik tool enlarge from point, klik segitiga ABC, lalu titik O, dan pada kotak dialog yang muncul isi dengan 2.

6. Ulangi untuk dilatasi dengan k = -1.

7. Ulangi untuk dilatasi dengan k = -3

8. Rename titik-titik bayangan pada dilatasi dengan k = -1 sehingga menjadi A'', B'' dan C'.

9. Rename titik-titik bayangan pada dilatasi dengan k = -3 sehingga menjadi A''', B''' dan C''.

9. Hubungkan titik A''' dengan A, menggunakan tool segment.

10. Hubungkan titik B''' dengan B, menggunakan tool segment.

11. Hubungkan titik C''' dengan C, menggunakan tool segment.

12. Selesai

Tabel 1 Dilatasi bidang ABC pada pusat O(0,0) dan faktor berbeda.

Contoh 10.4

Sebuah segitiga ABC, dengan A(1, 2), B(2, 1) dan C(4, 1) didilatasi dengan faktor skala k = a, k = b, dan k = c serta pusat C(4, 1) sehingga diperoleh berturut-turut segitiga A'B'C', A"B"C", dan A"'B"'C"'.